هل يمكن أن تكون المصفوفة حقنية؟

في عالم الرياضيات، المصفوفات هي هياكل أساسية تقوم بتغليف البيانات الرقمية في مصفوفة مستطيلة. عند مناقشة خصائص المصفوفات، فإن المفهوم الأساسي هو الشكل المختصر للصف، والمشار إليه بـ Ared، لمصفوفة معينة A. تعمل هذه المصفوفة المحولة بمثابة حجر الزاوية في تحليل السمات المختلفة للمصفوفات A.

إحدى هذه السمات هي الحقنية، وهو مصطلح مستعار من نظرية المجموعات لوصف الوظائف التي تحدد عناصر متميزة من المجال إلى عناصر متميزة من المجال الكودي. في سياق المصفوفات، يشير الحقن إلى قدرة A على الحفاظ على تمايز نواقل أعمدتها.

لتحديد ما إذا كانت المصفوفة A قابلة للحقن، ننتقل إلى شكلها المخفض Ared. تعمل هذه العملية على تبسيط A من خلال تطبيق سلسلة من العمليات الصفية، وتحويلها إلى شكل يكشف عن خصائصها الهيكلية الأساسية.

إذا وجدنا، عند فحص Ared، أن كل عمود يحتوي على 1 (أول عنصر غير الصفر في كل عمود)، فهذا يشير إلى أن A هو عنصر حقني. يشير وجود أرقام 1 البادئة في كل عمود إلى أنه لا يمكن التعبير عن أي عمود من الأعمدة A كمجموعة خطية من الأعمدة الأخرى، وبالتالي الحفاظ على تميز متجهات الأعمدة الخاصة بها.

على العكس من ذلك، إذا كان لدى Ared عمود واحد على الأقل بدون بادئة 1، فهذا يعني أن العمود المقابل في A يمكن تمثيله خطيًا بواسطة الأعمدة الأخرى. هذا الافتقار إلى الاستقلال بين أعمدة A يقوض قدرتها على أن تكون حقنية، حيث قد يتم تعيين متجهات إدخال مختلفة لنفس متجه الإخراج.