Was ist ein Beispiel für eine rein injektive Funktion?

Injektive Funktionen sind eine spezielle Art mathematischer Abbildungen, bei denen jedes Element in der Domäne eindeutig einem Element in der Kodomäne entspricht. Ein Paradebeispiel für eine injektive Funktion ist die Identitätsfunktion, die als X → X bezeichnet wird und jedes Element auf sich selbst abbildet und so eine Eins-zu-eins-Entsprechung gewährleistet.

Ein weiteres anschauliches Beispiel einer injektiven Funktion ist f: R→ R, wobei f(x) = 2x. Hier führt die Verdoppelung jeder reellen Zahl x zu einer eindeutigen Ausgabe, wodurch sichergestellt wird, dass keine zwei unterschiedlichen Eingaben derselben Ausgabe zugeordnet werden. Dieses Merkmal der Eindeutigkeit definiert die Injektivität der Funktion.

Ebenso ist auch die Funktion f: R→ R, mit f(x) = 2x + 1, injektiv. Indem wir der verdoppelten Eingabe eine konstante 1 hinzufügen, behalten wir die Eins-zu-eins-Beziehung zwischen der Domäne und der Codomäne bei und stellen so sicher, dass jede Eingabe einer eindeutigen Ausgabe zugeordnet wird.

Allerdings weisen nicht alle Funktionen Injektivität auf. Beispielsweise ist die Funktion f: R→ R, mit f(x) = x², nicht injektiv. Dies liegt daran, dass beispielsweise sowohl -1 als auch 1 auf dieselbe Ausgabe, nämlich 1, abgebildet werden. Somit erfüllt die Funktion nicht das Injektivitätskriterium, das erfordert, dass jede Eingabe eine eindeutige Ausgabe hat.

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