¿Puede una matriz ser inyectiva?

En el ámbito de las matemáticas, las matrices son estructuras fundamentales que encapsulan datos numéricos en una matriz rectangular. Cuando se analizan las propiedades de las matrices, un concepto clave es la forma reducida por filas, denotada como Ared, de una matriz A dada. Esta matriz transformada sirve como piedra angular en el análisis de varios atributos de A.

Uno de esos atributos es la inyectividad, un término tomado de la teoría de conjuntos para describir funciones que asignan distintos elementos del dominio a distintos elementos del codominio. En el contexto de las matrices, la inyectividad se refiere a la capacidad de A para preservar la distinción de sus vectores columna.

Para determinar si una matriz A es inyectiva, pasamos a su forma reducida por filas Ared. Este proceso simplifica A aplicando una serie de operaciones de fila, transformándolo en una forma que revela sus propiedades estructurales esenciales.

Si, al inspeccionar Ared, encontramos que cada columna contiene un 1 inicial (el primer elemento distinto de cero en cada columna), esto indica que A es inyectivo. La presencia de unos iniciales en cada columna significa que ninguna columna de A puede expresarse como una combinación lineal de las demás, preservando así el carácter distintivo de sus vectores de columna.

Por el contrario, si Ared tiene al menos una columna sin un 1 inicial, implica que la columna correspondiente en A puede representarse linealmente por las otras columnas. Esta falta de independencia entre las columnas de A socava su capacidad de ser inyectivo, ya que distintos vectores de entrada pueden asignarse al mismo vector de salida.