Como resolver um grupo abeliano?

Como abordar a solução de um grupo abeliano, considerando sua característica definidora de comutatividade? Que métodos ou técnicas específicas poderiam ser empregadas para analisar e compreender a estrutura de tal grupo? Existe uma forma sistemática de dividir o problema em partes mais pequenas e mais fáceis de gerir, ou é necessário adoptar uma abordagem mais holística? Qual é o papel da compreensão da ordem e dos geradores do grupo na busca de uma solução? E, finalmente, há alguma armadilha ou equívoco comum que alguém deva estar ciente ao trabalhar com grupos abelianos?