Uma matriz pode ser injetiva?

No reino da matemática, matrizes são estruturas fundamentais que encapsulam dados numéricos em uma matriz retangular. Ao discutir propriedades de matrizes, um conceito-chave é a forma reduzida de linha, denotada como Ared, de uma determinada matriz A. Esta matriz transformada serve como pedra angular na análise de vários atributos de A.

Um desses atributos é a injetividade, um termo emprestado da teoria dos conjuntos para descrever funções que mapeiam elementos distintos do domínio para elementos distintos do contradomínio. No contexto de matrizes, injetividade refere-se à capacidade de A de preservar a distinção de seus vetores coluna.

Para determinar se uma matriz A é injetiva, recorremos à sua forma reduzida por linha Ared. Este processo simplifica A aplicando uma série de operações sobre linhas, transformando-o numa forma que revela as suas propriedades estruturais essenciais.

Se, após inspeção de Ared, descobrirmos que cada coluna contém um 1 inicial (o primeiro elemento diferente de zero em cada coluna), isso indica que A é injetivo. A presença de 1s iniciais em cada coluna significa que nenhuma coluna de A pode ser expressa como uma combinação linear das outras, preservando assim a distinção de seus vetores coluna.

Por outro lado, se Ared tiver pelo menos uma coluna sem 1 inicial, isso implica que a coluna correspondente em A pode ser representada linearmente pelas outras colunas. Esta falta de independência entre as colunas de A prejudica a sua capacidade de ser injectivo, uma vez que vectores de entrada distintos podem mapear para o mesmo vector de saída.