APX-hard implique-t-il NP dur ?

C'est une question courante dans le domaine de la théorie de la complexité informatique de s'enquérir de la relation entre la dureté APX et la dureté NP. Après tout, les deux concepts traitent respectivement de la difficulté de résoudre des problèmes d’optimisation et des problèmes de décision. Mais l’un implique-t-il nécessairement l’autre ? D'une part, les problèmes APX-difficiles sont ceux qui ne peuvent pas être approchés efficacement à l'intérieur d'un facteur constant, à moins que tous les problèmes de la classe APX ne puissent l'être. En termes plus simples, ils représentent des problèmes d’optimisation pour lesquels il est intrinsèquement difficile de trouver de bonnes solutions approximatives. D’un autre côté, les problèmes NP-difficiles sont ceux qui sont au moins aussi difficiles que les problèmes les plus difficiles de la classe NP, ce qui signifie qu’il n’existe aucun algorithme efficace connu pour les résoudre dans le pire des cas. Il s’agit généralement de problèmes de décision, dont le but est de déterminer si une solution donnée existe ou non. Alors, le fait qu'un problème soit APX-difficile implique-t-il qu'il est également NP-difficile ? La réponse n’est pas nécessairement simple. Bien qu'il y ait certainement un chevauchement entre les deux classes, tous les problèmes APX-difficiles ne sont pas NP-difficiles, et vice versa. La principale distinction réside dans la nature des problèmes eux-mêmes. La dureté APX traite de la difficulté d'approcher les solutions aux problèmes d'optimisation, tandis que la dureté NP concerne la difficulté de résoudre des problèmes de décision. Ainsi, un problème peut être APX-difficile sans être NP-difficile, et vice versa. Par exemple, certains problèmes APX-difficiles peuvent impliquer de trouver la meilleure solution parmi un ensemble exponentiel de possibilités, le but n’étant pas simplement de vérifier l’existence d’une solution mais de trouver la solution optimale. En revanche, les problèmes NP-difficiles impliquent souvent de vérifier l’existence d’une solution dans un laps de temps polynomial. En résumé, bien qu’il existe certainement des liens entre la dureté APX et la dureté NP, l’une n’implique pas nécessairement l’autre. Comprendre les nuances de ces concepts est crucial pour naviguer dans les complexités de la théorie de la complexité informatique.