เมทริกซ์สามารถฉีดได้หรือไม่?

ในขอบเขตของคณิตศาสตร์ เมทริกซ์เป็นโครงสร้างพื้นฐานที่ห่อหุ้มข้อมูลตัวเลขในอาร์เรย์สี่เหลี่ยม เมื่อพูดถึงคุณสมบัติของเมทริกซ์ แนวคิดหลักคือรูปแบบรีดิวซ์แถว ซึ่งแสดงเป็น Ared ของเมทริกซ์ A ที่กำหนด เมทริกซ์ที่ถูกแปลงนี้ทำหน้าที่เป็นรากฐานที่สำคัญในการวิเคราะห์คุณลักษณะต่างๆ ของ A

คุณลักษณะอย่างหนึ่งคือ injectivity ซึ่งเป็นคำที่ยืมมาจากทฤษฎีเซตเพื่ออธิบายฟังก์ชันที่จับคู่องค์ประกอบที่แตกต่างกันของโดเมนกับองค์ประกอบที่แตกต่างกันของโคโดเมน ในบริบทของเมทริกซ์ การฉีดหมายถึงความสามารถของ A ในการรักษาความแตกต่างของเวกเตอร์คอลัมน์

เพื่อตรวจสอบว่าเมทริกซ์ A เป็นแบบ injective หรือไม่ เราจะหันไปหา Ared แบบลดขนาดแถวของมัน กระบวนการนี้ทำให้ A ง่ายขึ้นโดยการใช้ชุดการดำเนินการของแถว โดยเปลี่ยนให้เป็นรูปแบบที่แสดงคุณสมบัติทางโครงสร้างที่จำเป็น

หากตรวจสอบ Ared แล้ว เราพบว่าทุกคอลัมน์มี 1 นำหน้า (องค์ประกอบแรกที่ไม่ใช่ศูนย์ในแต่ละคอลัมน์) แสดงว่า A เป็นแบบฉีด การมีอยู่ของ 1 นำหน้าในทุกคอลัมน์หมายความว่าไม่มีคอลัมน์ใดของ A ที่สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่นๆ ได้ ดังนั้นจึงรักษาความเฉพาะตัวของเวกเตอร์คอลัมน์ไว้

ในทางกลับกัน หาก Ared มีคอลัมน์อย่างน้อยหนึ่งคอลัมน์โดยไม่มี 1 นำหน้า ก็แสดงว่าคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องใน A สามารถแสดงเป็นเส้นตรงด้วยคอลัมน์อื่นได้ การขาดความเป็นอิสระระหว่างคอลัมน์ของ A นี้จะบ่อนทำลายความสามารถในการฉีด เนื่องจากเวกเตอร์อินพุตที่แตกต่างกันอาจแมปกับเวกเตอร์เอาต์พุตเดียวกัน